Équation f(x) = k : résolution graphique

Propriété

On se place dans un repère du plan.
On considère une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(D_f\) et \(C_f\) sa courbe représentative dans ce repère.
Les solutions de l'équation \(f(x)=k\) sont les abscisses des éventuels points d'intersection de la droite d'équation \(y=k\) et de la courbe \(C_f\).

Méthode

• Repérer le nombre \(k\) sur l'axe des ordonnées.
  
• Tracer la droite \(\Delta\) d'équation \(y=k\) . Cette droite passe par le point de coordonnées \((0~;~k)\) et est parallèle à l'axe des abscisses.
  
• Si \(\Delta\) coupe la courbe \(C_f\), alors les solutions de l'équation \(f(x)=k\) sont les abscisses des points d'intersection de \(\Delta\) et de \(C_f\).
• Si \(\Delta\) ne coupe pas la courbe \(C_f\), alors l'équation \(f(x)=k\) n'a pas de solution.
  

Exemple

On se place dans un repère du plan.
Voici la courbe représentative `C_f` d'une fonction `f` définie sur `\mathbb{R}` .
Soit `k` un réel de l'intervalle `[-10;10]`.
On veut résoudre graphiquement l'équation `f(x)=k`.
Les solutions de cette équation sont les abscisses des points d'intersection de la droite `\Delta` et de la courbe `C_f`.
On peut les lire sur l'axe des abscisses grâce aux coordonnées des points qui apparaissent.

Pour visualiser l'animation, bouger le curseur pour changer la valeur de `k` et lire les solutions de l'équation.

Par exemple, pour \(k=2,4\), l'équation \(f(x)=2,4\) admet comme solutions \(-2,15\), \(-0,42\) et \(2,14\).
Pour \(k=-1\),  l'équation \(f(x)=-1\) admet comme solutions \(-2,61\) ; \(0,77\) et \(1,41\).